第8章-变形监测数学模型及应用.ppt

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第8章变形监测数学模型及应用,主要内容,概述统计模型的建立灰色系统分析模型时间序列分析模型,8.1概述,变形观测成果的分析,主要是在分析归纳工程建筑物变形值、变形幅度、变形过程、变形规律等的基础上,对工程建筑物的结构本身(内因)及作用于其上的各种荷载(外因)以及变形观测本身进行分析和研究,确定发生变形的原因及其规律性,进而对工程建筑物的安全性能做出判断,并对其未来的变形值范围做出预报。在积累了大量资料后,找出工程建筑物变形的内在原因、外在因素及其规律,则可对现行的设计理论及其所采用的经验系数和常数进行修正。,变形监测资料仅仅通过初步的整理和绘制成相应的图表,还远远不能满足变形监测分析工作的要求,因为这些图表只能用于初步地判断建筑物的运行情况。对于建筑物产生的变形值是否异常,变形与各种作用因素之间的关系,预报未来变形值的大小和判断建筑物安全的情况等问题都不可能确切地解答。,变形分析的任务是根据具有一定精度的观测资料,经过数学上的合理处理,从而寻找出建筑物变形在空间的分布情况及其在时间上的发展规律性,掌握变形量与各种内、外因素的关系,确定出建筑物变形中正常和异常的范围,防止变形朝不安全的方向发展。有些变形监测的目的在于验证建筑物设计的正确性以及反馈难于用通常方法获得的多种有用信息等。为达到上述这许多目的,变形监测资料合理而准确的处理是一件极为重要的工作。,建筑物变形和各变形因素之间的关系复杂,但从数理统计的理论出发,对建筑物的变形量与各种作用因素的关系,在进行了大量的试验和观测后,仍然有可能寻找出他们之间的一定规律性。这种处理变形监测资料的方法称为回归分析法。建立起来的数学模型称为统计分析模型。回归分析法是数理统计中处理存在着相互关系的变量和因变量之间关系的一种有效方法,它也是变形监测资料分析中常用的方法。传统的统计分析模型有一元线性统计模型,多元线性统计模型,逐步回归分析模型等。,变形量和引起变形的因子之间的关系除了可以用回归分析法处理外,还可以通过变形体或建筑物的结构分析,根据各种荷载的组合情况、建筑物材料的物理力学特性以及边界条件等因素计算出应力与变形之间的关系,从而建立变形体的确定性模型进行分析。这种处理变形分析的方法,能比较深刻地揭示建筑物结构的工作状况,对进一步理解和分析变形的产生有很大作用。将统计模型和确定性模型进行有机结合的模型称为混合模型。,新近几年又发展了灰色系统模型、时间序列分析模型、神经网络模型等;这些模型在建筑物变形监测中都已经得到较好的应用。,模型分类——数学方法,统计模型确定性模型混合模型灰色系统模型时间序列模型神经网络模型其他模型,模型分类——测点分布,单测点模型多测点模型一维分布模型二维分布模型空间分布模型时空分布模型,统计模型,统计模型是建立在数理统计基础上的一种模型。统计模型是通过分析所观测的物理量和环境量之间的相关性,来建立荷载与监测量之间关系的数学模型,该方法利用的是过去的变形观测数据,因此,具有“后验”的性质。建立统计模型的主要手段是回归分析。统计模型的一大缺陷是它需要的样本个数(数据量)较多,这样在大坝的运行初期由于没有大量的观测数据,统计模型的可靠性就较低,从而使模型的预报精度受到较大的影响。,统计模型基本表达式,式中:H为水位类因子集;T为温度类因子集;θ为时效类因子集;x、y、z为测点的空间坐标。由于各种监测量受到的环境量影响程度有较大的差异,因此,在实际建模中,常根据不同监测量类型拟定不同的监控模型形式。,,单测点统计模型,,,,一维分布统计模型,,,二维分布统计模型,,,空间分布模型,,,确定性模型,确定性模型是一种建立在物理力学概念基础上的模型,它结合大坝和基础的实际工作状态,应用有限元方法或工程力学方法计算外荷载作用下大坝和基础的位移场,然后以实测值进行校验,求得反映大坝和基础的平均力学参数的调整系数,从而建立确定性模型。确定性模型的计算方法主要有:有限差分法、有限单元法和单元边界法。,由于水压分量和温度分量是用力学方法计算求得,它可以包括可能发生的极限状态,因此,这种模型的外延能力较强。由于各种分量独立计算,克服了统计模型计算中,由于因子的关联而产生的各分量计算不准确的问题。确定性模型的建立需进行大量的有限元计算,因此,建模费用较高。在实际应用中,由于缺少建筑物的温度场资料或温度场资料误差大、不完善,材料的力学参数等的误差影响,确定性模型预测的精度有时不能令人满意,从而影响了其实际应用。,单测点确定性模型,,空间分布确定性模型,,混合模型,混合模型是综合利用统计分析和确定函数法建立分析模型的一种方法。这种方法主要考虑到前面两种基本方法的优缺点,综合两种方法的优点进行。混合模型以有限元方法求得水压分量的表达式,而将温度分量计算改用统计方法求得,即用常规的温度因子和时效因素组成分析模型,用统计方法求得最佳回归方程,并用实测值进行校正和修改,从而使预测模型更加接近实际。,混合模型形式,,灰色系统模型,灰色系统理论是80年代初由我国学者邓聚龙教授提出并发展起来的,该理论主要研究解决灰色系统的分析、建模、预测、决策和控制。灰色系统理论提供了在贫信息情况下解决系统问题的新途径。一个贫信息的系统或灰色信息的系统,称为灰色系统。表征灰色系统行为的离乱观测数据,按生成原理处理后可建立系统的灰色模型。灰色系统理论提出了一种新的分析方法,它对样本量的多少没有过分要求,也不需要典型的分布规律,计算工作量小,因此,灰色系统在许多领域中得到应用。,灰色模型从不同角度,不同关系,不同用途着眼就有不同的模型,灰色系统理论用到的模型一般是微分方程描述的动态模型,时间函数形式的时间响应模型,拉普拉斯变换关系描述的线性常系数的系统动态模型。由于灰色系统理论研究的是信息不完全的对象,内涵不确定的概念,关系不明的机制。因此,在研究过程中,显然是问题多、难度大,特别是模型结果对大坝变形物理成因的解释还不很明确,因此,还需要进一步地完善和发展。,统计模型存在的问题,①法矩阵的病态性当法矩阵存在病态性时,参数估计的准确性和稳定性将大大降低,从而使模型的可靠性受到影响。解决法矩阵病态性问题的主要方法是采用新的估计方法,如:岭估计、主成分估计、Stein压缩估计、根方估计、特征根估计等有偏估计方法,它们有效地克服了法矩阵的病态性对LS估计的影响。,②粗差影响当观测值中不可避免地含有粗差时,LS估计会受到很大的干扰,导致计算成果不可靠。目前,解决粗差问题的有效方法主要方法两类,一类是基于函数模型的检验方法,如数据探测法等;另一类是基于随机模型的抗差估计方法,如:Huber的抗差M-估计等,它们能有效地抵抗粗差的干扰,克服了LS估计易受粗差影响的问题。,③线性相关问题系数矩阵A(环境量观测值)中的列向量之间往往存在近似多重共线性关系,这将使参数估值的方差变大,精度降低,稳定性变差,从而使各种分量的分离不准确,回归模型的可靠性也受到影响。造成线性相关的主要原因主要有两种,一种是变量之间客观上就存在近似线性相关,这在多输入、多输出复杂系统中经常出现;另一种可能是由于收集数据的局限性所引起,这在变形监测的初期常常遇到。,解决自变量线性相关的主要方法有:a)通过数据的收集整理和加工消除多重共线性可以通过重新收集和扩大收集数量,或者对数据进行分解、综合、降维等技术处理来消除共线性。例如,当样本为时间序列数据时,利用差分法对数据进行变换。b)设法排除引起多重共线性的变量这类方法比较多,有基于自变量的多重相关平方和的多重相关法,基于一组变量内部的多重相关系数的方法,逐步回归法等。c)适当选取参数的估计方法如:岭估计、主成分估计、特征根估计、部分最小二乘估计等,它们共同特点是有偏估计。,模型误差对监控模型的影响,在因子过多的情况下,所估计的原参数其无偏性不改变,方差变大,单位权方差估计仍保持无偏性。在因子不足的情况下,原参数估计有偏,所估单位权方差也有偏。定权不正确将影响估计量的最优性,使估计精度降低,使单位权方差估计有偏。,人工神经网络模型,传统模型一般要求大子样的测值样本,而且测值的时空遍历性要较好,如果这些条件不满足,则所建监控模型的精度和可靠性一般都比较差。由于因子之间的相关性的影响,各种影响因素的分离结果往往不很准确。传统方法建立的监控模型由于不再考虑以后测值的发展趋势,其预报时段往往较短,从而不得不定期地重建监控模型。,人工神经网络是一种用计算机模拟生物机制的方法,它不要求对事物机制有明确的了解,系统的输出取决于系统输入和输出之间的连接权,而这些连接权的数值则是通过训练样本的学习获得,这种方式对解决机理尚不十分明确的问题特别有效。由于引起大坝变形等的因素十分复杂,再加上各工程的具体条件千差万别,许多理想条件下的理论模型很难应用于实际,确定性的模型需随着时间和地点的改变而不断修改模型的参数甚至模型的结构,因而失去了模型的普遍性。在这种情况下,以实测资料为基础的神经网络无疑是一种有效的途径。,BP算法存在的主要问题,收敛速度慢在建立模型时,网络的训练往往需要很长的时间,这对建立大批量测点模型十分不利,收敛速度慢只在建立模型时表现得突出。存在不少局部最小点从数学上看,BP可看作非线性的梯度优化问题,因此,不可避免地存在局部极小问题,从而造成网络完全得不到训练。另外,初始随机加权的大小,对局部最小的影响也很大,如果这些加权太大,一开始就可能使网络处于S形函数的饱和区,则系统有可能陷入局部最小。,隐含结点个数难以确定目前,网络的隐含结点个数的选取尚缺少统一而完整的理论指导,分析人员只能凭经验或通过多次试算确定隐含层结点的个数。由于不同问题所需要的隐含层结点数有较大的差异,因此,这种选择方法存在明显的盲目性。实践经验表明,过多或过少的隐含层结点数对网络训练结果都是不利的。计算参数选取困难在开始网络训练时,需要设定迭代步长和惯性系数,这些参数目前尚无明确的理论计算公式,分析人员一般根据自己的经验选取。当这些参数选取不当时,会引起网络振荡甚至导致网络麻痹而不能收敛,从而不能得到计算结果。,关键问题,在神经网络建模过程中,应合理地确定隐含层神经元的数量,过少的隐含层神经元数量将严重影响模型的预测精度,过多的隐含层神经元数量,不仅大大增加计算工作量,而且使模型的表面精度提高,而使模型的粗差检验能力降低,这对监控模型是十分不利的。因此,在实际工作中,应根据具体情况,经训练样本多次试算后,再确定隐含层的神经元数量。,灰色动态神经网络模型,输入层优化,根据监测物理量的影响分析,确定模型的因子集利用灰色关联分析方法,对因子集中的各因子与监测物理量进行关联分析,计算各因子与监测量之间的关联系数,确定因子关联序根据关联序和工程实际情况确定输入层的因子和个数,网络学习,设输入层结点个数为n,输出层结点个数为m,隐含层结点个数为n0,并设有N个样本(xk,yk)(k=1,2,…,N),xk∈Rn,yk∈Rm的样本集为S1,xk为输入,yk为其预期相应的输出;另有M个样本(x’k,y’k)(k=1,2,…,M)的样本集S2。,学习过程,(1)初始化f1=1,f2=1;(2)根据样本S1学习得权矩阵W;(3)由S2验证权矩阵W,若正确,则f1=1,否则,f1=0;(4)根据样本S2学习得权矩阵W;(5)由S1验证权矩阵W,若正确,则f2=1,否则,f2=0;(6)若P(f1∧f2)=1,则计算结束,否则,增加L个隐含结点,转(2)。,8.2统计模型的建立,定义,是指从数理统计的理论出发,对建筑物的变形量与各种作用因素的关系,进行大量的试验和观测后,寻找出它们之间的规律性的处理变形监测资料的方法,它是变形监测资料分析中常用的方法。用此法建立起来的数学模型称为统计分析模型。,一元线性回归分析,定义:是利用回归分析确定两个互为线性关系的变量间相互关系的方法。一元线性回归的数学模型:,回归方程:评价回归方程好坏用相关系数,越接近于1,方程越有效。,一元线性回归分析,多元线性回归,在实际工作中,建筑物的变形是比较复杂的,是由多种因数的影响而产生的综合反映。建筑物的变形量与作用因子间通常并不完全是线性关系。仅用一元线性回归分析,在实际工作中不能完全解决问题,更主要的是利用多元回归的方法进行处理。,多元线性回归,数学模型表达式:在最小二乘原理下,利用间接平差方法列出方程式,求解出待定系数:,多元线性回归,回归方程:回归方程的精度估计,考察多元回归方程的回归效果,据复相关系数R来判断。多元回归分析中,遇到各变量之间的相互关系关系不是线性时,可先进行变量代换,把它们线性化,进而就可进行多元回归分析。,多元线性回归,方差分析与逐步回归原理,总体思想,利用回归分析方法可对建筑物变形监测资料进行处理,但在处理时,回归方程河宜的数学模型在开始时不可能完全确定下来,因此在回归开始时,只能根据经验或对变形量进行某数学力学的分析后建立一个初步的回归方程模型,然后利用方差分析原理对各个因子进行显著性的统计检验,把作用甚微的因子剔除,把那些考虑不周而遗漏掉的显著因子接纳进方程中。,回归效果显著性的检验,(一)设初选的数学模型为:y=a0+a1x1+a2x2++akxk(二)进行多元回归,求出方程中各带定系数的最佳估值及每组观测所对应的应变量的最佳估值,由此求出总差方和Q、回归平方和Q1及残差平方和Q2之值,上式表明,总差方和可以分成两个部分,一部分称为回归平方和Q1,主要反映回归方程描述变形量与各变形因子间相互作用的效果好坏。另一部分称为残差平方和Q2,它反映了其他各种随机因素的影响,如观测误差、回归模型误差等部分的作用。对于一个确定的变形观测项目,对于某N组数据而言,总差方和Q是一个定值,若Q1越大,则Q2越小,说明回归方程越有效。所以回归方程的好坏,可从Q1、Q2的比值大小确定。,回归方程中各因子作用显著性的检验,(一)第一次回归后得到的回归方程如下:求出相应的残差平方和Q2(二)在初选模型中减去一个因子xk,另外进行回归得第二个回归方程:此回归方程相应的残差平方和Q2`(三)两个回归方程的残差平方和之差值Q2=Q2-Q2`,上式为减少一个因子后,回归平方和的减少值,它表明xk因子对回归平方和的贡献大小。(四)构造统计检验量在原假设H0:ak=0下,Q2/2是自由度为1的2变量,而Q2`/2是自由度为(n-k)的2变量,构造统计检验量在给定的自信水平下,判断是否接纳xk因子入回归方程中。,逐步回归的计算步骤,(一)全面回归在逐步剔除因子的方法(1)首先根据经验或对变形值与外界作用因子间的初步分析,确定回归方程的初选模型及各个因子。(2)回归计算建立回归方程,在此方程中找出其中系数|ai|为最小者,并报将其剔除出回归方程后,从新进行回归计算,建立新的回归方程。(3)计算第一次及新的回归方程之残差平方,^,和Q2与Q2`。求出Q2=Q2-Q2`,组成统计量F,并进行F检验。若表明该因子作用不显著,则正式剔除出回归方程,否则仍应保留在方程内。然后再队第二个系数|ai|较小的因子进行显著性试验,一直到全部因子检验结束为止。在逐步回归中,每剔除一个因子后均必须从新建立回归方程。(4)进行全部因子显著性检验后,应对所建立的回归方程作回归效果显著性检验。,(二)分别回归再逐个添加显著因子的方法(1)分别以每个因子各自进行一元回归,并计算出各个回归方程相应的平方和Q2只值,残差平方和越小,说明回归效果越好。(2)选出一些Q2之值较小的因子作为初选因子而建立初步的回归模型。(3)进行回归分析并对此方程中各个因子显著性作检验,此外还对此方程进行回归效果的检验。(4)若效果不够理想,可加入Q2之值略大的因子,并进行显著性检验。最后使回归方程内各因子作用显著且整个回归方程效果良好。,回归因子的初选,通常可用如下三种方法:(1)借助于各种图表的分析确定初选因子(2)通过初步的变形因素分析而确定因子(3)由完整的结构应力分析确定初选因子,8.3灰色系统分析模型,略,8.4时间序列分析模型,略,
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