1、中档大题保分练中档大题保分练(一)(推荐时间:50分钟)1 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m(cos(xB),cos B),n,f(x)mn,f.(1)求角B的值;(2)若b,6,求a和c的值解(1)f(x)mncos xcos(xB)cos Bcos2xcos Bcos xsin xsin Bcos B(cos 2xcos Bsin 2xsin B)cos(2xB),f,cos,又B为ABC的内角,B即B.(2)由6,及B,得accos 6,即ac12,在ABC中,由余弦定理:b2a2c22accos B得14a2c22accos ,a2c226,从而(ac)22ac26
2、,(ac)250,ac5.解方程组,得,或.2 设数列an的前n项和为Sn,点(nN*)均在函数y2x1的图象上(1)求数列an的通项公式;(2)设bn,Tn是数列bn的前n项和,求证:Tn1.(1)解由条件2n1,即Sn2n2n.当n2时,anSnSn12(n1)2(n1)4n3.又n1时,a1S11适合上式,所以an4n3(nN*)(2)证明bn.Tnb1b2b3bn1.nN*,0,11,即Tn1.3 M公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了14名男生和6名女生这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分),公司规定:成绩在180分以上者到“甲部门”工作;180分以下者到“乙部门”
3、工作另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”(1)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取8人,再从这8人中选3人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少?(2)若从所有“甲部门”人选中随机选3人,用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数,写出X的分布列,并求出X的数学期望解(1)用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是.根据茎叶图,有“甲部门”人选10人,“乙部门”人选10人,所以选中的“甲部门”人选有104人,“乙部门”人选有104人用事件A表示“至少有一名甲部门人选被选中”,则它的对立事件表示“没有一名甲部门人选被选中”,则P(A)1P()11.因此,至少
4、有一人是“甲部门”人选的概率是.(2)依题意,所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0,1,2,3.P(X0),P(X1),P(X2),P(X3),因此,X的分布列如下:X0123P所以X的数学期望E(X)0123.4 在四棱锥PABCD中,底面ABCD是直角梯形,ABCD,ABC90,ABPBPCBC2CD,平面PBC平面ABCD.(1)求证:AB平面PBC;(2)求平面ADP与平面BCP所成的二面角(小于90)的大小;(3)在棱PB上是否存在点M使得CM平面PAD?若存在,求的值;若不存在,请说明理由(1)证明因为ABC90,所以ABBC.因为平面PBC平面ABCD,平面PBC
5、平面ABCDBC,AB平面ABCD,所以AB平面PBC.(2)解如图,取BC的中点O,连接PO.因为PBPC,所以POBC.因为平面PBC平面ABCD,平面PBC平面ABCDBC,PO平面PBC,所以PO平面ABCD.以O为原点,OB所在的直线为x轴,在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴,OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz.不妨设BC2.由ABPBPCBC2CD可得,P(0,0,),D(1,1,0),A(1,2,0)所以(1,1,),(2,1,0)设平面ADP的法向量为m(x,y,z)因为所以令x1,则y2,z.所以m(1,2,)取平面BCP的一个法向量n(0,1,0)所以cosm,n.所以平面ADP和平面BCP所成的二面角(小于90)的大小为.(3)解在棱PB上存在点M使得CM平面PAD,此时.取AB的中点N,连接CM,CN,MN,则MNPA,ANAB.因为AB2CD,所以ANCD.因为ABCD,所以四边形ANCD是平行四边形,所以CNAD.因为MNCNN,PAADA,所以平面MNC平面PAD.因为CM平面MNC,所以CM平面PAD.