初等模型 《数学模型》(第三版)电子课件姜启源、谢金星、叶 俊编制.ppt

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第二章初等模型,2.1公平的席位分配2.2录像机计数器的用途2.3双层玻璃窗的功效2.4汽车刹车距离2.5划艇比赛的成绩2.6实物交换2.7核军备竞赛2.8启帆远航2.9量纲分析与无量纲化,,,2.1公平的席位分配,问题,三个系学生共200名(甲系100,乙系60,丙系40),代表会议共20席,按比例分配,三个系分别为10,6,4席。,现因学生转系,三系人数为103,63,34,问20席如何分配。,若增加为21席,又如何分配。,比例加惯例,对丙系公平吗,“公平”分配方法,衡量公平分配的数量指标,当p1/n1=p2/n2时,分配公平,p1/n1–p2/n2~对A的绝对不公平度,p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10,p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100,p1/n1–p2/n2=5,但后者对A的不公平程度已大大降低!,虽二者的绝对不公平度相同,若p1/n1>p2/n2,对不公平,A,p1/n1–p2/n2=5,公平分配方案应使rA,rB尽量小,设A,B已分别有n1,n2席,若增加1席,问应分给A,还是B,不妨设分配开始时p1/n1>p2/n2,即对A不公平,~对A的相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似地定义rB(n1,n2),将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即,“公平”分配方法,若p1/n1>p2/n2,定义,1)若p1/(n1+1)>p2/n2,,则这席应给A,2)若p1/(n1+1)p2/(n2+1),,应计算rB(n1+1,n2),应计算rA(n1,n2+1),若rB(n1+1,n2)p2/n2,问:,p1/n1rA(n1,n2+1),则这席应给B,当rB(n1+1,n2)>车身的平均长度15英尺(=4.6米),“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同,刹车距离,反应时间,司机状况,制动系统灵活性,制动器作用力、车重、车速、道路、气候……,最大制动力与车质量成正比,使汽车作匀减速运动。,车速,假设与建模,1.刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和,2.反应距离d1与车速v成正比,3.刹车时使用最大制动力F,F作功等于汽车动能的改变;,Fd2=mv2/2,Fm,t1为反应时间,且F与车的质量m成正比,,反应时间t1的经验估计值为0.75秒,参数估计,利用交通部门提供的一组实际数据拟合k,模型,最小二乘法k=0.06,“2秒准则”应修正为“t秒准则”,模型,2.5划艇比赛的成绩,对四种赛艇(单人、双人、四人、八人)4次国际大赛冠军的成绩进行比较,发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。,问题,准备,调查赛艇的尺寸和重量,问题分析,前进阻力~浸没部分与水的摩擦力,前进动力~浆手的划浆功率,分析赛艇速度与浆手数量之间的关系,赛艇速度由前进动力和前进阻力决定,对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定,运用合适的物理定律建立模型,模型假设,1)艇形状相同(l/b为常数),w0与n成正比,2)v是常数,阻力f与sv2成正比,符号:艇速v,浸没面积s,浸没体积A,空艇重w0,阻力f,浆手数n,浆手功率p,浆手体重w,艇重W,艇的静态特性,艇的动态特性,3)w相同,p不变,p与w成正比,浆手的特征,模型建立,fsv2,pw,s1/2A1/3,AW(=w0+nw)n,npfv,模型检验,,,,,,利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型tn–1/9进行检验,与模型巧合!,问题,甲有物品X,乙有物品Y,双方为满足更高的需要,商定相互交换一部分。研究实物交换方案。,用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0,乙占有Y的数量为y0,作图:,若不考虑双方对X,Y的偏爱,则矩形内任一点p(x,y),都是一种交换方案:甲占有(x,y),乙占有(x0-x,y0-y),2.6实物交换,甲的无差别曲线,分析与建模,如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度,即p1,p2对甲是无差别的,,线上各点的满意度相同,线的形状反映对X,Y的偏爱程度,,比MN各点满意度更高的点如p3,在另一条无差别曲线M1N1上。于是形成一族无差别曲线(无数条)。,无差别曲线族的性质:,单调减(x增加,y减小),下凸(凸向原点),互不相交,在p1点占有x少、y多,宁愿以较多的y换取较少的x;,在p2点占有y少、x多,就要以较多的x换取较少的y。,甲的无差别曲线族记作,f(x,y)=c1,c1~满意度,(f~等满意度曲线),乙的无差别曲线族g(x,y)=c2具有相同性质(形状可以不同),双方的交换路径,乙的无差别曲线族g=c2(坐标系x’O’y’,且反向),甲的无差别曲线族f=c1,双方满意的交换方案必在AB(交换路径)上,因为在AB外的任一点p’,(双方)满意度低于AB上的点p,两族曲线切点连线记作AB,p,交换方案的进一步确定,交换方案~交换后甲的占有量(x,y),0xx0,0yy0矩形内任一点,交换路径AB,等价交换原则,X,Y用货币衡量其价值,设交换前x0,y0价值相同,则等价交换原则下交换路径为,,(x0,0),(0,y0)两点的连线CD,AB与CD的交点p,设X单价a,Y单价b,则等价交换下ax+by=s(s=ax0=by0),2.7核军备竞赛,冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全,实行“核威慑战略”,核军备竞赛不断升级。,随着前苏联的解体和冷战的结束,双方通过了一系列的核裁军协议。,在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张,而存在暂时的平衡状态。,当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时,平衡状态会发生什么变化。,估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量,这个数量受哪些因素影响。,背景,以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。,假定双方采取如下同样的核威慑战略:,认为对方可能发起所谓第一次核打击,即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地;,乙方在经受第一次核打击后,应保存足够的核导弹,给对方重要目标以毁灭性的打击。,在任一方实施第一次核打击时,假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。,摧毁这个基地的可能性是常数,它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。,模型假设,图的模型,y=f(x)~甲方有x枚导弹,乙方所需的最少导弹数,x=g(y)~乙方有y枚导弹,甲方所需的最少导弹数,当x=0时y=y0,y0~乙方的威慑值,y0~甲方实行第一次打击后已经没有导弹,乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数,,P(xm,ym),乙安全区,甲安全区,双方安全区,P~平衡点(双方最少导弹数),乙安全线,精细模型,乙方残存率s~甲方一枚导弹攻击乙方一个基地,基地未被摧毁的概率。,sx个基地未摧毁,y–x个基地未攻击。,xs2,,,,2.9量纲分析与无量纲化,物理量的量纲,长度l的量纲记L=[l],质量m的量纲记M=[m],时间t的量纲记T=[t],动力学中基本量纲L,M,T,,速度v的量纲[v]=LT-1,导出量纲,,加速度a的量纲[a]=LT-2,力f的量纲[f]=LMT-2,引力常数k的量纲[k],对无量纲量,[]=1(=L0M0T0),2.9.1量纲齐次原则,=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2,量纲齐次原则,等式两端的量纲一致,量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系,例:单摆运动,求摆动周期t的表达式,设物理量t,m,l,g之间有关系式,1,2,3为待定系数,为无量纲量,,,(1)的量纲表达式,对比,,,对x,y,z的两组测量值x1,y1,z1和x2,y2,z2,p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2),,,为什么假设这种形式,设p=f(x,y,z),,x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍,单摆运动中t,m,l,g的一般表达式,,,,设f(q1,q2,,qm)=0,ys=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-r,F(1,2,…,m-r)=0与f(q1,q2,,qm)=0等价,F未定,Pi定理(Buckingham),是与量纲单位无关的物理定律,X1,X2,,Xn是基本量纲,nm,q1,q2,,qm的量纲可表为,量纲矩阵记作,[g]=LT-2,[l]=L,[]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2,量纲分析示例:波浪对航船的阻力,航船阻力f,航船速度v,船体尺寸l,浸没面积s,海水密度,重力加速度g。,m=6,n=3,,Ay=0有m-r=3个基本解,rankA=3,rankA=r,Ay=0有m-r个基本解,ys=(ys1,ys2,…,ysm)Ts=1,2,…,m-r,F(1,2,3)=0与(g,l,,v,s,f)=0等价,为得到阻力f的显式表达式,F=0,,未定,F(1,2,…,m-r)=0与f(q1,q2,,qm)=0等价,,量纲分析法的评注,物理量的选取,基本量纲的选取,基本解的构造,结果的局限性,(…)=0中包括哪些物理量是至关重要的,基本量纲个数n;选哪些基本量纲,有目的地构造Ay=0的基本解,方法的普适性,函数F和无量纲量未定,不需要特定的专业知识,2.9.2量纲分析在物理模拟中的应用,例:航船阻力的物理模拟,通过航船模型确定原型船所受阻力,~模型船的参数(均已知),可得原型船所受阻力,已知模型船所受阻力,~原型船的参数(f1未知,其他已知),注意:二者的相同,,,,,按一定尺寸比例造模型船,量测f,可算出f1~物理模拟,2.9.3无量纲化,例:火箭发射,星球表面竖直发射。初速v,星球半径r,表面重力加速度g,研究火箭高度x随时间t的变化规律,t=0时x=0,火箭质量m1,星球质量m2,牛顿第二定律,万有引力定律,,——3个独立参数,用无量纲化方法减少独立参数个数,用参数r,v,g的组合,分别构造与x,t具有相同量纲的xc,tc(特征尺度),—无量纲变量,如,令,xc,tc的不同构造,1)令,,为无量纲量,3)令,,2)令,,1)2)3)的共同点,重要差别,考察无量纲量,,,在1)2)3)中能否忽略以为因子的项?,1),无解,2),3),,原问题,,是原问题的近似解,为什么3)能忽略项,得到原问题近似解,而1)2)不能?,3)令,火箭到达最高点时间为v/g,高度为v2/2g,,大体上具有单位尺度,,林家翘:自然科学中确定性问题的应用数学,
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