1、,第二章函数与基本初等函数,1理解函数的单调性及其几何意义 2会运用函数图像理解和研究函数的性质 3会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何意义 请注意 函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式,1单调性定义 (1)单调性定义：给定区间D上的函数yf(x)，若对于 D，当x1x2时，都有f(x1) f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数，否则为区间D上的减函数 单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间,x1，x2,(2)证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手利用
2、定义证明单调性的一般步骤是a.x1，x2D，且 ，b.计算 并判断符号，c.结论 设yf(x)在某区间内可导，若f(x) 0，则f(x)为增函数，若f(x) 0，则f(x)为减函数,x1x2,f(x1)f(x2),2与单调性有关的结论 (1)若f(x)，g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)g(x)为某区间上的 函数 (2)若f(x)为增(减)函数，则f(x)为函数 (3)yfg(x)是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则yfg(x)是 若f(x)与g(x)的单调性相反，则yfg(x)是,增(减),减(增),增函数,减函数,(4)奇函数在对称区间上的单调性 ，偶函数在
3、对称区间上的单调性 (5)若函数f(x)在闭区间a，b上是减函数，则f(x)的最大值为 ，最小值为，值域为,相同,相反,f(a),f(b),f(b)，f(a),3函数的最值 设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意xI，都有 ，存在x0I，使得，那么称M是函数yf(x)的最大值；类比定义yf(x)的最小值,f(x)M,f(x0)M,1判断下列说法是否正确(打“”或“”) (1)函数y|x|是R上的增函数 (2)函数y的单调递减区间是(，0)(0，) (3)若函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，) (4)对于函数f(x)，xD，若对任意x1，x2D，x1
4、x2且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在区间D上是增函数 答案(1)(2)(3)(4),2(课本习题改编)已知f(x)2x2x，x1,3，则其单调递减区间为_；f(x)min_.,答案(1)(，1)，(1，)(2)(1,1,4函数f(x)log0.5(x22x8)的单调递增区间_；单调递减区间_ 答案(，2)，(4，) 解析先求函数的定义域，令x22x80，得x4或x2，通过图像得函数ux22x8，在x4时，单调递增，在x2时递减，所以原函数f(x)log0.5(x22x8)在(4，)上递减，在(，2)上递增,讲评求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，在定义域的基础上，划分
5、单调增(减)区间，因此，函数的单调区间应是定义域的子集,5已知函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若ab0，则有() Af(a)f(b)f(a)f(b) Bf(a)f(b)f(a)f(b) Df(a)f(b)0，ab，ba. f(a)f(b)，f(b)f(a)，选A.,题型一 单调性的判断与证明,【答案】略,探究1(1)判断函数的单调性有三种方法： 图像法；利用已知函数的单调性；定义法 (2)证明函数的单调性有两种方法： 定义法；导数法,(1)若a2，试证f(x)在(，2)上单调递增； (2)若a0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围,思考题1,【答案】(1)略(2)0a1,例
6、2求下列函数的单调区间 (1)f(x)x22|x|3；,题型二 求函数的单调区间,其图像如图所示，所以函数yf(x)的单调递增区间为(，1和0,1；单调递减区间为1,0和1，),由上表可知，函数的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1),【答案】(1)单调递增区间为(，1，0,1单调递减区间为1,0，1，) (2)单调递增区间为(2,5)，单调递减区间为(1,2 (3)单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1),探究2求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间 (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义 (3
7、)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间 (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间 (5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：求函数的定义域；求简单函数的单调区间；求复合函数的单调区间，依据是“同增异减” (6)求函数单调区间，定义域优先,求下列函数的单调区间 (1)f(x)x|1x|；,思考题2,(2)32xx20，3x1. 由一元二次函数图像可知f(x)的单调递减区间为(3，1，单调递增区间为(1,1),【答案】(1)单调递增区间为(，1 (2)单调递减区间为(3，1，单调递增区间为(1,1) (3)单调递增区间为(1，)
8、，单调递减区间为(0,1),题型三 利用单调性求最值,设g(x)x22xa， 则g(x)在1，)上的最小值(a)0. 这样问题就转化为求g(x)的最小值(a)，从而得到关于a的不等式，解之即可,g(x)(x1)2a1，对称轴为x1，且开口向上 所以g(x)在1，)上递增 所以g(x)在1，)上的最小值为g(1)3a. 由3a0，得a3.,探究3(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图像不易作出时，单调性几乎成为首选方法 (2)函数的最值与单调性的关系： 若函数在闭区间a，b上是减函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； 若函数在闭区间a，b上是增
9、函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a),思考题3,例4(1)已知函数yloga(2ax)在0,1上是x的减函数，则实数a的取值范围是_ 【解析】设u2ax，a0且a1， 函数u在0,1上是减函数 由题意可知函数ylogau在0,1上是增函数， a1.又u在0,1上要满足u0，,题型四 单调性的应用,【答案】(1,2),(2)已知f(x)的定义域为(0，)，且在其上为增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(2)1，试解不等式f(x)f(x2)3. 【解析】f(2)f(2)f(4)，f(2)1， f(4)2. 321f(4)f(2)f(8) f(x)f(x2)fx(x2
10、)， 原不等式为fx(x2)f(8),根据函数的定义域和单调性有 【答案】x|2x4,探究4已知单调性求参数值或利用单调性解不等式是高考中热点，主要体现对性质的应用,(1)已知函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(x22x3)0，x22x36. x22x30，3x1. 【答案】3x1,思考题4,1单调区间是定义域的子区间，求单调区间、定义域优先 2熟记各基本初等函数的单调区间，是求单调区间的前提、基础,4函数的单调增、减区间要分开写；两个(或两个以上)同一类单调区间之间用“，”隔开，不能用“”符号连接 5若f(x)具有对称轴xa，则在xa两侧的对称区间上f(x)具有相反的单调性； 若f
11、(x)具有对称中心(a，b)，则在xa两侧的对称区间上f(x)具有相同的单调性 6函数图像的平移不影响单调性；其中左右平移能改变单调区间，上下平移不改变单调区间,1(2014北京理)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是() 答案A,2若函数yx2bxc(x0，)是单调函数，则实数b的取值范围是() Ab0 Bb0 Cb0 Db0 答案A,Ak0 Bk0 Ck0 Dk0 答案B,A有最大值 B有最小值 C是增函数 D是减函数 答案A,答案,6若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_. 答案6 解析画图知a6.,求函数最值的常用方法 1配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法，如
12、F(x)af2(x)bf(x)c的函数的最值问题，可以考虑用配方法 例1已知函数y(exa)2(exa)2(aR，a0)，求函数y的最小值 【思路】将函数表达式按exex配方，转化为关于变量exex的二次函数,【解析】y(exa)2(exa)2 (exex)22a(exex)2a22. 令texex，f(t)t22at2a22. t2，f(t)t22at2a22(ta)2a22的定义域为2，) 抛物线yf(t)的对称轴为ta， 当a2且a0时，yminf(2)2(a1)2； 当a2时，yminf(a)a22.,【讲评】利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区
13、间的相对位置关系如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决,2换元法 换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值如可用三角代换解决形如a2b21及部分根式函数形式的最值问题,3不等式法 主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法常常使用的基本不等式有以下几种：,【思路】先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基本不等式求得最值,【讲评】本题是三元分式函数的最值问题，一般地，可将这类函数问题转化为二元函
14、数问题加以解决在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误,4函数单调性法 先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现,【思路】先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a的值,【讲评】解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性，这是问题的关键,5导数法 设函数f(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，则f(x)在a，b上的最大值和最小值应为f(x)在(a，b
15、)内的各极值与f(a)，f(b)中的最大值和最小值利用这种方法求函数最值的方法就是导数法 例5函数f(x)x312x1在闭区间3,0上的最大值、最小值分别是_ 【思路】先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比较大小，确定最值,【解析】因为f(x)3x212，所以令f(x)0，得x2或x2(舍去)又f(3)10，f(2)17，f(0)1，比较得，f(x)的最大值为17，最小值为1. 【讲评】利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函数值f(a)，f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：
16、导数为零的点，导数不存在的点及其端点,6平方法 对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题,【思路】本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进而可以利用二次函数的最值解决,7数形结合法 数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法 【思路】本题实质上是一个分段函数的最值问题先根据条件将函数化为分段函数，再利用数形结合法求解,【解析】由|x1|x2|，,8线性规划法 线性规划法求解最值问题，一般有以下几步：由条件写出约束条件；画出可行域，并求最优解；根据目标函数及最优解，求出最值 例8已知点P(x，y)的坐标同时满足以下不等式：xy4，yx，x1，如果点O为坐标原点，那么|OP|的最小值等于_，最大值等于_ 【思路】本题实质上可以视为线性规划问题，求解时，先找出约束条件，再画可行域，最后求出最值,题组层级快练,
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